\(\int \frac {\tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan ^2(e+f x))^3} \, dx\) [245]

Optimal result

Integrand size = 23, antiderivative size = 144 \[ \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx=-\frac {x}{(a-b)^3}+\frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 a^{3/2} (a-b)^3 \sqrt {b} f}+\frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a (a-b)^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )} \]

[Out]

-x/(a-b)^3+1/8*(3*a^2+6*a*b-b^2)*arctan(b^(1/2)*tan(f*x+e)/a^(1/2))/a^(3/2)/(a-b)^3/f/b^(1/2)+1/4*tan(f*x+e)/(
a-b)/f/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2+1/8*(3*a+b)*tan(f*x+e)/a/(a-b)^2/f/(a+b*tan(f*x+e)^2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.18 (sec) , antiderivative size = 144, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3751, 482, 541, 536, 209, 211} \[ \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx=\frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 a^{3/2} \sqrt {b} f (a-b)^3}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a f (a-b)^2 \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )}+\frac {\tan (e+f x)}{4 f (a-b) \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {x}{(a-b)^3} \]

[In]

Int[Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3,x]

[Out]

-(x/(a - b)^3) + ((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*(a - b)^3*Sqrt[b]*f
) + Tan[e + f*x]/(4*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((3*a + b)*Tan[e + f*x])/(8*a*(a - b)^2*f*(a + b*Tan
[e + f*x]^2))

Rule 209

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]))*ArcTan[Rt[b, 2]*(x/Rt[a, 2])], x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 482

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e^(n - 1
)*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] - Dist[e^n/(n*(b*c -
a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(m - n + 1) + d*(m + n*(p + q + 1)
+ 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GeQ[n
, m - n + 1] && GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 536

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 541

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(
-(b*e - a*f))*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a
*d)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*
f)*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 3751

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[c*(ff/f), Subst[Int[(d*ff*(x/c))^m*((a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2
+ ff^2*x^2)), x], x, c*(Tan[e + f*x]/ff)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\text {Subst}\left (\int \frac {x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^3} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f} \\ & = \frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {1-3 x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{4 (a-b) f} \\ & = \frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a (a-b)^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {5 a-b+(-3 a-b) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a (a-b)^2 f} \\ & = \frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a (a-b)^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {1}{1+x^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{(a-b)^3 f}+\frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b x^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a (a-b)^3 f} \\ & = -\frac {x}{(a-b)^3}+\frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 a^{3/2} (a-b)^3 \sqrt {b} f}+\frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a (a-b)^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 2.09 (sec) , antiderivative size = 139, normalized size of antiderivative = 0.97 \[ \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx=\frac {-8 (e+f x)+\frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a}}\right )}{a^{3/2} \sqrt {b}}+\frac {(a-b) \left (5 a^2+2 a b+b^2+\left (5 a^2-4 a b-b^2\right ) \cos (2 (e+f x))\right ) \sin (2 (e+f x))}{a (a+b+(a-b) \cos (2 (e+f x)))^2}}{8 (a-b)^3 f} \]

[In]

Integrate[Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3,x]

[Out]

(-8*(e + f*x) + ((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*Sqrt[b]) + ((a - b)*(5
*a^2 + 2*a*b + b^2 + (5*a^2 - 4*a*b - b^2)*Cos[2*(e + f*x)])*Sin[2*(e + f*x)])/(a*(a + b + (a - b)*Cos[2*(e +
f*x)])^2))/(8*(a - b)^3*f)

Maple [A] (verified)

Time = 0.22 (sec) , antiderivative size = 137, normalized size of antiderivative = 0.95

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {\arctan \left (\tan \left (f x +e \right )\right )}{\left (a -b \right )^{3}}+\frac {\frac {\frac {b \left (3 a^{2}-2 a b -b^{2}\right ) \tan \left (f x +e \right )^{3}}{8 a}+\left (\frac {5}{8} a^{2}-\frac {3}{4} a b +\frac {1}{8} b^{2}\right ) \tan \left (f x +e \right )}{\left (a +b \tan \left (f x +e \right )^{2}\right )^{2}}+\frac {\left (3 a^{2}+6 a b -b^{2}\right ) \arctan \left (\frac {b \tan \left (f x +e \right )}{\sqrt {a b}}\right )}{8 a \sqrt {a b}}}{\left (a -b \right )^{3}}}{f}\)	\(137\)
default	\(\frac {-\frac {\arctan \left (\tan \left (f x +e \right )\right )}{\left (a -b \right )^{3}}+\frac {\frac {\frac {b \left (3 a^{2}-2 a b -b^{2}\right ) \tan \left (f x +e \right )^{3}}{8 a}+\left (\frac {5}{8} a^{2}-\frac {3}{4} a b +\frac {1}{8} b^{2}\right ) \tan \left (f x +e \right )}{\left (a +b \tan \left (f x +e \right )^{2}\right )^{2}}+\frac {\left (3 a^{2}+6 a b -b^{2}\right ) \arctan \left (\frac {b \tan \left (f x +e \right )}{\sqrt {a b}}\right )}{8 a \sqrt {a b}}}{\left (a -b \right )^{3}}}{f}\)	\(137\)
risch	\(-\frac {x}{a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}}+\frac {i \left (5 a^{3} {\mathrm e}^{6 i \left (f x +e \right )}+5 a^{2} b \,{\mathrm e}^{6 i \left (f x +e \right )}-9 a \,b^{2} {\mathrm e}^{6 i \left (f x +e \right )}-b^{3} {\mathrm e}^{6 i \left (f x +e \right )}+15 a^{3} {\mathrm e}^{4 i \left (f x +e \right )}+13 a^{2} b \,{\mathrm e}^{4 i \left (f x +e \right )}+17 a \,b^{2} {\mathrm e}^{4 i \left (f x +e \right )}+3 b^{3} {\mathrm e}^{4 i \left (f x +e \right )}+15 a^{3} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}-a^{2} b \,{\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}-11 a \,b^{2} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}-3 b^{3} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+5 a^{3}-9 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}{4 \left (a \,{\mathrm e}^{4 i \left (f x +e \right )}-b \,{\mathrm e}^{4 i \left (f x +e \right )}+2 a \,{\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+2 b \,{\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+a -b \right )^{2} \left (a -b \right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right ) a f}+\frac {3 a \ln \left ({\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+\frac {-2 i a b +\sqrt {-a b}\, a +\sqrt {-a b}\, b}{\left (a -b \right ) \sqrt {-a b}}\right )}{16 \sqrt {-a b}\, \left (a -b \right )^{3} f}+\frac {3 \ln \left ({\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+\frac {-2 i a b +\sqrt {-a b}\, a +\sqrt {-a b}\, b}{\left (a -b \right ) \sqrt {-a b}}\right ) b}{8 \sqrt {-a b}\, \left (a -b \right )^{3} f}-\frac {\ln \left ({\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+\frac {-2 i a b +\sqrt {-a b}\, a +\sqrt {-a b}\, b}{\left (a -b \right ) \sqrt {-a b}}\right ) b^{2}}{16 \sqrt {-a b}\, \left (a -b \right )^{3} f a}-\frac {3 \ln \left ({\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+\frac {2 i a b +\sqrt {-a b}\, a +\sqrt {-a b}\, b}{\left (a -b \right ) \sqrt {-a b}}\right ) a}{16 \sqrt {-a b}\, \left (a -b \right )^{3} f}-\frac {3 b \ln \left ({\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+\frac {2 i a b +\sqrt {-a b}\, a +\sqrt {-a b}\, b}{\left (a -b \right ) \sqrt {-a b}}\right )}{8 \sqrt {-a b}\, \left (a -b \right )^{3} f}+\frac {\ln \left ({\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+\frac {2 i a b +\sqrt {-a b}\, a +\sqrt {-a b}\, b}{\left (a -b \right ) \sqrt {-a b}}\right ) b^{2}}{16 \sqrt {-a b}\, \left (a -b \right )^{3} f a}\)	\(712\)

[In]

int(tan(f*x+e)^2/(a+b*tan(f*x+e)^2)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/f*(-1/(a-b)^3*arctan(tan(f*x+e))+1/(a-b)^3*((1/8*b*(3*a^2-2*a*b-b^2)/a*tan(f*x+e)^3+(5/8*a^2-3/4*a*b+1/8*b^2
)*tan(f*x+e))/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2+1/8*(3*a^2+6*a*b-b^2)/a/(a*b)^(1/2)*arctan(b*tan(f*x+e)/(a*b)^(1/2))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 353 vs. \(2 (130) = 260\).

Time = 0.32 (sec) , antiderivative size = 759, normalized size of antiderivative = 5.27 \[ \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx=\left [-\frac {32 \, a^{2} b^{3} f x \tan \left (f x + e\right )^{4} + 64 \, a^{3} b^{2} f x \tan \left (f x + e\right )^{2} + 32 \, a^{4} b f x - 4 \, {\left (3 \, a^{3} b^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} - a b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{3} + {\left ({\left (3 \, a^{2} b^{2} + 6 \, a b^{3} - b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 3 \, a^{4} + 6 \, a^{3} b - a^{2} b^{2} + 2 \, {\left (3 \, a^{3} b + 6 \, a^{2} b^{2} - a b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2}\right )} \sqrt {-a b} \log \left (\frac {b^{2} \tan \left (f x + e\right )^{4} - 6 \, a b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a^{2} - 4 \, {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{3} - a \tan \left (f x + e\right )\right )} \sqrt {-a b}}{b^{2} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, a b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a^{2}}\right ) - 4 \, {\left (5 \, a^{4} b - 6 \, a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )}{32 \, {\left ({\left (a^{5} b^{3} - 3 \, a^{4} b^{4} + 3 \, a^{3} b^{5} - a^{2} b^{6}\right )} f \tan \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, {\left (a^{6} b^{2} - 3 \, a^{5} b^{3} + 3 \, a^{4} b^{4} - a^{3} b^{5}\right )} f \tan \left (f x + e\right )^{2} + {\left (a^{7} b - 3 \, a^{6} b^{2} + 3 \, a^{5} b^{3} - a^{4} b^{4}\right )} f\right )}}, -\frac {16 \, a^{2} b^{3} f x \tan \left (f x + e\right )^{4} + 32 \, a^{3} b^{2} f x \tan \left (f x + e\right )^{2} + 16 \, a^{4} b f x - 2 \, {\left (3 \, a^{3} b^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} - a b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{3} - {\left ({\left (3 \, a^{2} b^{2} + 6 \, a b^{3} - b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 3 \, a^{4} + 6 \, a^{3} b - a^{2} b^{2} + 2 \, {\left (3 \, a^{3} b + 6 \, a^{2} b^{2} - a b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2}\right )} \sqrt {a b} \arctan \left (\frac {{\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} - a\right )} \sqrt {a b}}{2 \, a b \tan \left (f x + e\right )}\right ) - 2 \, {\left (5 \, a^{4} b - 6 \, a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )}{16 \, {\left ({\left (a^{5} b^{3} - 3 \, a^{4} b^{4} + 3 \, a^{3} b^{5} - a^{2} b^{6}\right )} f \tan \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, {\left (a^{6} b^{2} - 3 \, a^{5} b^{3} + 3 \, a^{4} b^{4} - a^{3} b^{5}\right )} f \tan \left (f x + e\right )^{2} + {\left (a^{7} b - 3 \, a^{6} b^{2} + 3 \, a^{5} b^{3} - a^{4} b^{4}\right )} f\right )}}\right ] \]

[In]

integrate(tan(f*x+e)^2/(a+b*tan(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/32*(32*a^2*b^3*f*x*tan(f*x + e)^4 + 64*a^3*b^2*f*x*tan(f*x + e)^2 + 32*a^4*b*f*x - 4*(3*a^3*b^2 - 2*a^2*b^
3 - a*b^4)*tan(f*x + e)^3 + ((3*a^2*b^2 + 6*a*b^3 - b^4)*tan(f*x + e)^4 + 3*a^4 + 6*a^3*b - a^2*b^2 + 2*(3*a^3
*b + 6*a^2*b^2 - a*b^3)*tan(f*x + e)^2)*sqrt(-a*b)*log((b^2*tan(f*x + e)^4 - 6*a*b*tan(f*x + e)^2 + a^2 - 4*(b
*tan(f*x + e)^3 - a*tan(f*x + e))*sqrt(-a*b))/(b^2*tan(f*x + e)^4 + 2*a*b*tan(f*x + e)^2 + a^2)) - 4*(5*a^4*b
- 6*a^3*b^2 + a^2*b^3)*tan(f*x + e))/((a^5*b^3 - 3*a^4*b^4 + 3*a^3*b^5 - a^2*b^6)*f*tan(f*x + e)^4 + 2*(a^6*b^
2 - 3*a^5*b^3 + 3*a^4*b^4 - a^3*b^5)*f*tan(f*x + e)^2 + (a^7*b - 3*a^6*b^2 + 3*a^5*b^3 - a^4*b^4)*f), -1/16*(1
6*a^2*b^3*f*x*tan(f*x + e)^4 + 32*a^3*b^2*f*x*tan(f*x + e)^2 + 16*a^4*b*f*x - 2*(3*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - a*b^4
)*tan(f*x + e)^3 - ((3*a^2*b^2 + 6*a*b^3 - b^4)*tan(f*x + e)^4 + 3*a^4 + 6*a^3*b - a^2*b^2 + 2*(3*a^3*b + 6*a^
2*b^2 - a*b^3)*tan(f*x + e)^2)*sqrt(a*b)*arctan(1/2*(b*tan(f*x + e)^2 - a)*sqrt(a*b)/(a*b*tan(f*x + e))) - 2*(
5*a^4*b - 6*a^3*b^2 + a^2*b^3)*tan(f*x + e))/((a^5*b^3 - 3*a^4*b^4 + 3*a^3*b^5 - a^2*b^6)*f*tan(f*x + e)^4 + 2
*(a^6*b^2 - 3*a^5*b^3 + 3*a^4*b^4 - a^3*b^5)*f*tan(f*x + e)^2 + (a^7*b - 3*a^6*b^2 + 3*a^5*b^3 - a^4*b^4)*f)]

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 9051 vs. \(2 (122) = 244\).

Time = 73.66 (sec) , antiderivative size = 9051, normalized size of antiderivative = 62.85 \[ \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(tan(f*x+e)**2/(a+b*tan(f*x+e)**2)**3,x)

[Out]

Piecewise((zoo*x/tan(e)**4, Eq(a, 0) & Eq(b, 0) & Eq(f, 0)), ((-x + tan(e + f*x)/f)/a**3, Eq(b, 0)), ((x + 1/(
f*tan(e + f*x)) - 1/(3*f*tan(e + f*x)**3))/b**3, Eq(a, 0)), (3*f*x*tan(e + f*x)**6/(48*b**3*f*tan(e + f*x)**6
+ 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 9*f*x*tan(e + f*x)**4/(48*b**3*f*tan(
e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 9*f*x*tan(e + f*x)**2/(48
*b**3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 3*f*x/(48*b**
3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 3*tan(e + f*x)**5
/(48*b**3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 8*tan(e +
f*x)**3/(48*b**3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) - 3
*tan(e + f*x)/(48*b**3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f
), Eq(a, b)), (x*tan(e)**2/(a + b*tan(e)**2)**3, Eq(f, 0)), (3*a**4*log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))/(16*a**6*b
*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a
/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*s
qrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b*
*5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f
*x)**4) - 3*a**4*log(sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*
x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(
e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b
)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqr
t(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 16*a**3*b*f*x*sqrt(-a/b)/(16*a**6*b*f*sqrt
(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan
(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/
b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sq
rt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4)
+ 10*a**3*b*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*
a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2
+ 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f
*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan
(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) + 6*a**3*b*log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)
**2/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*
b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48
*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b
) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-
a/b)*tan(e + f*x)**4) + 6*a**3*b*log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt
(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*
f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3
*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 3
2*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 6*a**3*b*log(sqrt(-a/b) +
tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b
**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*
a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2
- 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f
*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 6*a**3*b*log(sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))/(16*a**6*b*f*sqrt(-
a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e
+ f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)
*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt
(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) -
32*a**2*b**2*f*x*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)*
*2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e +
f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*t
an(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-
a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) + 6*a**2*b**2*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**3/(16*a*
*6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqr
t(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4
*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**
2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e
+ f*x)**4) - 12*a**2*b**2*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e +
f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*t
an(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-
a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*
sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) + 3*a**2*b**2*log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f
*x))*tan(e + f*x)**4/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt
(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*
f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3
*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 1
6*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) + 12*a**2*b**2*log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*a**6
*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(
-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f
*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*
b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e +
f*x)**4) - a**2*b**2*log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(
e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b
)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqr
t(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5
*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 3*a**2*b**2*log(sqrt(-a/b) + tan(e +
f*x))*tan(e + f*x)**4/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sq
rt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**
3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*
*3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 -
16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 12*a**2*b**2*log(sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*a**
6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt
(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*
f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2
*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e
+ f*x)**4) + a**2*b**2*log(sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(
e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b
)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqr
t(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5
*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 16*a*b**3*f*x*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x
)**4/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4
*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 4
8*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/
b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(
-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 4*a*b**3*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**3/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/
b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sq
rt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**
4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a*
*2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) + 2*a*b**3*sqrt(-a/b)*tan(e + f
*x)/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*
b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48
*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b
) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-
a/b)*tan(e + f*x)**4) + 6*a*b**3*log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**4/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*
a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4
- 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f
*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan
(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 2*a*b**3*
log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*
x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(
e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b
)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqr
t(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - 6*a*b**3*log(sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*ta
n(e + f*x)**4/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)
+ 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(
-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f
*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**
6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) + 2*a*b**3*log(sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*a**6*b*f*sqrt(-a
/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e
+ f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*
tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(
-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) -
2*b**4*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**3/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**
5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 +
48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)
**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e
+ f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4) - b**4*log(-sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**4/(16
*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*
sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b
**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*
a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*ta
n(e + f*x)**4) + b**4*log(sqrt(-a/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**4/(16*a**6*b*f*sqrt(-a/b) + 32*a**5*b**2*f*
sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*a**5*b**2*f*sqrt(-a/b) + 16*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*a**4*b
**3*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*a**4*b**3*f*sqrt(-a/b) - 48*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*
a**3*b**4*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a**3*b**4*f*sqrt(-a/b) + 48*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4
- 32*a**2*b**5*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*a*b**6*f*sqrt(-a/b)*tan(e + f*x)**4), True))

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.42 (sec) , antiderivative size = 213, normalized size of antiderivative = 1.48 \[ \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx=\frac {\frac {{\left (3 \, a^{2} + 6 \, a b - b^{2}\right )} \arctan \left (\frac {b \tan \left (f x + e\right )}{\sqrt {a b}}\right )}{{\left (a^{4} - 3 \, a^{3} b + 3 \, a^{2} b^{2} - a b^{3}\right )} \sqrt {a b}} + \frac {{\left (3 \, a b + b^{2}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{3} + {\left (5 \, a^{2} - a b\right )} \tan \left (f x + e\right )}{a^{5} - 2 \, a^{4} b + a^{3} b^{2} + {\left (a^{3} b^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} + a b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, {\left (a^{4} b - 2 \, a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2}} - \frac {8 \, {\left (f x + e\right )}}{a^{3} - 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} - b^{3}}}{8 \, f} \]

[In]

integrate(tan(f*x+e)^2/(a+b*tan(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/8*((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*arctan(b*tan(f*x + e)/sqrt(a*b))/((a^4 - 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 - a*b^3)*sqrt(a*b)) +
((3*a*b + b^2)*tan(f*x + e)^3 + (5*a^2 - a*b)*tan(f*x + e))/(a^5 - 2*a^4*b + a^3*b^2 + (a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 +
a*b^4)*tan(f*x + e)^4 + 2*(a^4*b - 2*a^3*b^2 + a^2*b^3)*tan(f*x + e)^2) - 8*(f*x + e)/(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2
- b^3))/f

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 1.01 (sec) , antiderivative size = 192, normalized size of antiderivative = 1.33 \[ \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx=\frac {\frac {{\left (\pi \left \lfloor \frac {f x + e}{\pi } + \frac {1}{2} \right \rfloor \mathrm {sgn}\left (b\right ) + \arctan \left (\frac {b \tan \left (f x + e\right )}{\sqrt {a b}}\right )\right )} {\left (3 \, a^{2} + 6 \, a b - b^{2}\right )}}{{\left (a^{4} - 3 \, a^{3} b + 3 \, a^{2} b^{2} - a b^{3}\right )} \sqrt {a b}} - \frac {8 \, {\left (f x + e\right )}}{a^{3} - 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} - b^{3}} + \frac {3 \, a b \tan \left (f x + e\right )^{3} + b^{2} \tan \left (f x + e\right )^{3} + 5 \, a^{2} \tan \left (f x + e\right ) - a b \tan \left (f x + e\right )}{{\left (a^{3} - 2 \, a^{2} b + a b^{2}\right )} {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{2}}}{8 \, f} \]

[In]

integrate(tan(f*x+e)^2/(a+b*tan(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/8*((pi*floor((f*x + e)/pi + 1/2)*sgn(b) + arctan(b*tan(f*x + e)/sqrt(a*b)))*(3*a^2 + 6*a*b - b^2)/((a^4 - 3*
a^3*b + 3*a^2*b^2 - a*b^3)*sqrt(a*b)) - 8*(f*x + e)/(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3) + (3*a*b*tan(f*x + e)^3 +
b^2*tan(f*x + e)^3 + 5*a^2*tan(f*x + e) - a*b*tan(f*x + e))/((a^3 - 2*a^2*b + a*b^2)*(b*tan(f*x + e)^2 + a)^2)
)/f

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 14.39 (sec) , antiderivative size = 3817, normalized size of antiderivative = 26.51 \[ \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int(tan(e + f*x)^2/(a + b*tan(e + f*x)^2)^3,x)

[Out]

((tan(e + f*x)*(5*a - b))/(8*(a^2 - 2*a*b + b^2)) + (tan(e + f*x)^3*(3*a*b + b^2))/(8*a*(a^2 - 2*a*b + b^2)))/
(f*(a^2 + b^2*tan(e + f*x)^4 + 2*a*b*tan(e + f*x)^2)) - (2*atan((((((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3
040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^
5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) - (tan(e + f*x)*(256*a^2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a
^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2)*1i)/(32*(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3)
*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) - (tan(e + f*x)*(
9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))/(
6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) - ((((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 -
2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3
+ 15*a^6*b^2)) + (tan(e + f*x)*(256*a^2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304
*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2)*1i)/(32*(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 -
4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) + (tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 9
4*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 -
2*b^3))/((((((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3
- 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) - (tan(e + f
*x)*(256*a^2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 2
56*a^9*b^2)*1i)/(32*(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i
)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) - (tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(3
2*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) - (3*a*b^3 + 9*a
^3*b - b^4 + 21*a^2*b^2)/(32*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (
((((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8
*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (tan(e + f*x)*(256*a
^2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2
)*1i)/(32*(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2
- 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) + (tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4
*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3))))/(f*(6*a*b^2 - 6*a^2*b +
2*a^3 - 2*b^3)) - (atan(((((tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4*a
^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)) - ((-a^3*b)^(1/2)*((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4*
b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a
^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) - (tan(e + f*x)*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*(256*a^2*b^9 - 1280*a^
3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2))/(512*(a^6*b -
a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*(6*a*b + 3*a^2 - b^2))/(
16*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*1i)/(16*(a^6*b - a^3*b^4 +
3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)) + (((tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4*
a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)) + ((-a^3*b)^(1/2)*((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4
*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*
a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (tan(e + f*x)*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*(256*a^2*b^9 - 1280*a
^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2))/(512*(a^6*b
- a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*(6*a*b + 3*a^2 - b^2))/
(16*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*1i)/(16*(a^6*b - a^3*b^4
+ 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))/((3*a*b^3 + 9*a^3*b - b^4 + 21*a^2*b^2)/(32*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 +
15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (((tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))
/(32*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)) - ((-a^3*b)^(1/2)*((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*
b^7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6
*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) - (tan(e + f*x)*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*(256*a^
2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2)
)/(512*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*(6*a*b +
3*a^2 - b^2))/(16*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2))/(16*(a^6*b
- a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)) - (((tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(
32*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)) + ((-a^3*b)^(1/2)*((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^
7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a
^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (tan(e + f*x)*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*(256*a^2*
b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2))/
(512*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*(6*a*b + 3*
a^2 - b^2))/(16*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2))/(16*(a^6*b -
a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2))))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*1i)/(8*f*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^
3 - 3*a^5*b^2))